【秋山仁のこんなところにも数学が！】（５６）ドーナツと宇宙の不思議な関係

　２点からの長さの和が一定になる点を順次につないでいくと、楕円（だえん）になることはよく知られています。これを確かめるには、その２点にくぎを打ち、与えられた長さの糸の両端をそれらに結んで、鉛筆の先で糸をピンと張りながら曲線を描いてみれば分かります＝図１。

　では、２点からの長さの積が一定になる点を順次につないでいくと、どんな曲線になるでしょうか。簡単にするために、２点からの長さの積をＬ×Ｌとし、２点間の長さを２Ｌとした場合を考えてみましょう。この寸法にしたのは、２点からの中点がその条件を満たすため、数学的にも大切な曲線が得られるからです。

　この曲線を求めるには、意外にもドーナツや浮袋の形が関係します。図２のように、ドーナツを端から中央に向かって垂直に切り下していくと、その断面の形はどう変化するでしょうか。最初のうちは１つの輪ですが、途中からは２つの輪に分かれます。１つの輪から２つの輪に分かれる境目は、どんな形でしょうか？　実際にドーナツを切ってみると、「８の字」型曲線が現れます。実はドーナツの寸法をうまく測ると、この「８の字」型曲線は、２点からの長さの積がＬ×Ｌになる点を順次につないだもので、数学では「レムニスケート」と呼ばれています（図２の赤線部）。

　実はこのレムニスケートは、天体運動に関係しています。ご存じのように、宇宙にある天体は万有引力の法則にしたがって運動しています。このため、地球と月のように、たった２個の天体のときは、一方が他方を周回するか、両方が絡み合うように周回するかのどちらかです。では、３個のときはどうなるのかというと、条件次第で非常に難しい問題になります。ところが、ある条件を与えると、３個の天体がぴたりとレムニスケート上に載りながら、互いに周回することが知られています。天体の運動がドーナツの切り口の形に関係しているとは驚きです。（東海大教育開発研究所長）